結構設計

80% FCN + 20% 動態 Straddle 組合架構（$w_t$ 初始值 25%，範圍 [10%, 35%]）

$P = 0.80 \times \text{FCN}(K=80\%,\ \text{AKI}=65\%,\ \text{KO}=100\%,\ \text{年票息}10\%) + w_t \times \text{Straddle}(\text{ATM})$

配置架構

資產配置（初始）

底層資產：TSM ADR（台積電美國存託憑證）60% + NDX（Nasdaq-100 指數）40% 等權 Basket。
FCN（80%）：固定票息結構，Strike 80%，AKI 65%，KO 100%，年票息 10%，掛鉤 Basket。
Straddle（$w_t$，初始 25%）：ATM 跨式，依 $\Delta RV_t$ 動態調整至 [10%, 35%]，對沖 FCN 的負 Vega 暴露。

FCN Monte Carlo 估值（3 情境）

FCN 結構細節

參數	數值	說明
Strike	80%	低於此水位保本終止條件放寬
AKI（敲入）	65%	觸及後本金跟漲跌
KO（敲出）	100%	第2月起觸及即提前KO，按持有月份發息
年票息	10%（月0.833%）	固定票息，KO 時按月計算
到期	12 個月	若未 KO 亦未 AKI，全額本金 + 票息

Monte Carlo 結果（5000 路徑）

情境	基準 $\sigma$	KO 概率	AKI 概率	公允值
Crash (低波)	18%	83.7%	0.6%	103.72%
基準	28%	81.4%	6.3%	101.67%
Spike (高波)	45%	78.3%	17.5%	97.01%

基準 $\sigma$ = Basket（TSM 60% + NDX 40%）已實現波動率，非單一資產波動率。

Vega 管理

動態調整 Straddle 權重，維持 Net Vega 接近零

$NV_t = \text{Vega}(\text{FCN}) + w_t \cdot \text{Vega}(\text{Straddle}) \approx 0 \quad w_t \in [10\%,\ 35\%]$
$w_t = w_{t-1} + \alpha \cdot \Delta RV_t \quad (\Delta RV_t = RV_t - RV_{t-1},\ \text{已驗證為 I(0) 平穩序列})$

Net Vega 時間序列（2019–2025）

Net Vega（動態 vs 靜態）

靜態版 Net Vega 固定為 −0.032（對應固定 $w_t = 20\%$，FCN Vega ≈ −0.048，Straddle Vega ≈ +0.08）。動態版隨 $w_t$ 調整趨近零。

Straddle 權重 $w_t$（%）— 依 $\Delta RV$ 動態調整（$w_\min=10\%$, $w_\max=35\%$）

Basket 已實現波動率（年化%）

月度 Basket 已實現波動率（Basket = TSM ADR 60% + NDX 40%），依每月日級對數報酬計算年化 RV（%）。

Vega 3D 曲面

T（年）： 0.25

拖拽旋轉 · 滾輪縮放 · T 滑桿切換到期時間

定價模型比較

BS vs Heston — Straddle 理論價值

4.2 波動率建模：EGARCH-t（1,1,1）+ MLE

核心模型 EGARCH-t 配合四種輔助驗證（日級資料 N=1,760）

一、背景與模型選擇依據

已實現波動率（RV）具波動率叢聚特徵（ACF Lag-1=0.843），且 Jarque-Bera 檢驗拒絕常態分佈（超額峰度=4.527，p<0.001），顯示肥尾特徵。為了同時捕捉波動率叢聚、槓桿效應與肥尾三大特徵，本研究採用 EGARCH(1,1,1)-t 為核心波動率模型，並經最大似然估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）求解。

二、EGARCH-t（1,1,1）模型規格

均值方程式： $r_t = \mu + \epsilon_t,\quad \epsilon_t = \sigma_t z_t,\quad z_t \sim t(\nu)$
EGARCH 方差方程式： $\ln(\sigma_t^2) = \omega + \alpha(|z_{t-1}| - \mathbb{E}|z|) + \gamma z_{t-1} + \beta \ln(\sigma_{t-1}^2)$
$\alpha$：衝擊效應（ARCH）；$\gamma < 0$：槓桿效應（壞消息 → 更大波動）；$\beta$：持續性；$\nu$：Student-t 自由度（肥尾）

三、MLE 估計結果（日級 N=1,760）

−0.0875

$\gamma$（槓桿效應）***

6.6

$\nu$（t 自由度，肥尾）

0.9547

$\beta$（波動持續性）

6644.5

AIC（四模型最佳）

6.08

Ljung-Box Q(10) — p=0.81 ✅

27.8%

無條件波動率（年化）

參數	估計值	p 值	意義
$\mu$（日均值）	0.120%	<0.01 **	日均報酬基準
$\alpha$（ARCH）	0.1680	<0.001 ***	衝擊效應顯著
$\gamma$（槓桿效應）	−0.0875	<0.001 ***	✅ 壞消息放大波動幅度
$\beta$（GARCH）	0.9547	<0.001 ***	波動衝擊緩慢消散（半衰期≈15日）
$\nu$（t 自由度）	6.6	<0.001 ***	✅ 中等肥尾，拒絕常態假設

*** p < 0.001；** p < 0.01. Ljung-Box Q(10)=6.08（p=0.81），標準化殘差平方無顯著自相關，EGARCH-t 捕捉完全。

四、最大似然估計法（MLE）求解流程

本研究採用 BFGS 數值最佳化 求解 EGARCH-t 的最大似然估計量（MLE），配合 Robust 標準誤（準 QML）解決小樣本偏差問題。

求解目標： $\max_\theta \sum_t \log f(r_t \mid \Omega_{t-1};\, \theta)$ 其中 $\theta = (\mu, \omega, \alpha, \gamma, \beta, \nu)$
收斂條件： $\beta \in (-1, 1)$，$\alpha \ge 0$，$\nu > 2$（EGARCH 指數形式自然滿足方差非負）

五、四種模型輔助驗證

AIC / BIC 比較（四模型，全樣本 N=1,760 交易日（2019-01-02 ~ 2025-12-31，含 2018-12-31 初始值））

月度 RMSE vs 已實現波動率（N=84個月）

模型	AIC	月度 RMSE	Ljung-Box p	槓桿效應	肥尾	定位
EGARCH-t	6644	6.00%	0.755 ✅	✅ $\gamma$=−0.0875***	✅ $\nu$=6.6	核心模型
GARCH-t	6664	5.49%	0.850 ✅	❌	✅ $\nu$=6.4	Benchmark
EGARCH-N	6721	6.24%	0.793 ✅	✅ $\gamma$=−0.0753***	❌	輔助
GARCH-N	6746	5.57%	0.865 ✅	❌	❌	輔助

EGARCH-t 在 AIC 指標上優於其他三個模型，確認同時納入肥尾與槓桿效應之必要性。

六、LSTM 穩健性檢驗

LSTM（hidden=4，seq_len=20，日級）以 EGARCH-t 條件波動率序列為輸入，預測次日波動率。日級 OOS RMSE=1.35%，相關係數=0.992，驗證 EGARCH-t 條件波動率序列具有可預測結構，支持核心模型之有效性。

LSTM OOS 預測 vs 實際波動率（日級）

LSTM 設計說明

項目	設定
Hidden size	4
Seq length	20 天
Dropout	0.1
參數數	117（N/p=11x）
訓練集	1,390 日（80%）
OOS 測試集	348 日（20%）
OOS RMSE	1.35%
OOS corr	0.992

資料適格性檢驗：平穩性分析

Data Suitability Validation: Stationarity Analysis | 樣本期間 2019-01 ~ 2025-04（N = 76 月）

一、前言

時間序列模型（ARMA、GARCH 族）之有效性以序列平穩性（stationarity）為必要前提。若直接對非平穩序列建模，將產生 Granger & Newbold（1974）所描述之虛假迴歸（spurious regression）問題，導致統計推論失效、回測績效高估。本章依循 Engle & Granger（1987）之建議，在引入 GARCH-M 模型前，對所有輸入序列進行嚴格之平穩性前置檢驗，並對 RV 序列進行進一步之長記憶性檢驗與差分處理。

二、檢驗方法

採用 ADF（Augmented Dickey-Fuller）與 KPSS（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin）雙重互補檢驗策略。對於 RV 序列進一步採用 R/S 分析法（Hurst 指數）與 GPH（Geweke-Porter-Hudak）估量長記憶分數差分階數 d，以判斷其持續性性質。

方法	H₀	H₁	規格
ADF	存在單位根（非平穩）	無單位根（平穩）	有常數、無趨勢；滯後階數由 AIC 選取
KPSS	序列為水準平穩	存在單位根	水準平穩（level stationary）規格
Hurst R/S	H = 0.5（短記憶）	H ≠ 0.5	H > 0.5 持續型；H < 0.5 反持續；H ≈ 1 長記憶
GPH	d = 0（短記憶）	d ≠ 0	0 < d < 0.5 長記憶 ARFIMA；d ≥ 0.5 非平穩

ADF 臨界值（MacKinnon, 1994）：1%=−3.51, 5%=−2.89, 10%=−2.58 | KPSS 臨界值（Kwiatkowski et al., 1992）：1%=0.739, 5%=0.463, 10%=0.347

三、檢驗結果——核心序列（月報酬率）

−9.13

TSM ADF t-stat

−9.42

NDX ADF t-stat

0.120

TSM KPSS LM

0.156

NDX KPSS LM

序列	ADF t-stat	ADF	KPSS LM	KPSS	整合階數	建模適用性
TSM 月對數報酬率	−9.13***	拒絕 H₀	0.120	不拒絕 H₀	I(0)	✅ 直接建模
NDX 月對數報酬率	−9.42***	拒絕 H₀	0.156	不拒絕 H₀	I(0)	✅ 直接建模

*** p < 0.01. TSM 與 NDX 月對數報酬率均通過雙重檢驗，結論為 I(0) 平穩序列，適合直接建立 ARMA / GARCH-M 模型。

四、RV 長記憶性與差分處理（核心章節）

已實現波動率 RV 之平穩性檢驗結果顯示關鍵問題：ADF 未能拒絕單位根，KPSS 強力拒絕平穩假設，進一步之長記憶性檢驗揭示小樣本特有之持續性性質。

−2.48

RV ADF t-stat

3.549

RV KPSS LM***

0.950

Hurst H（R/S）

1.029

GPH d 估計

−8.73

ΔRV ADF t-stat

0.067

ΔRV KPSS LM

檢驗項目	RV 原序列	ΔRV（一階差分）	診斷
ADF t-stat	−2.48（p > 0.10）	−8.73***（p < 0.01）	差分後強力平穩
KPSS LM	3.549（p < 0.01）	0.067（p > 0.10）	差分後不拒絕平穩
ΔRV ACF Lag-1	0.843（高持續）	−0.030（近白噪音）	差分消除自相關結構
Hurst H（R/S 分析）	0.950（強長記憶）	0.538（弱持續）	H ≈ 1 接近隨機漫步
GPH 分數階數 d	1.029（接近 I(1)）	—	d ≥ 0.5 非平穩，建議差分處理

GPH 估計結果顯示 RV 之分數差分階數 d ≈ 1.03，接近 I(1)。達此程度表明 RV 序列之非平穩性質主要來自對過去衝擊之持續性，而非單純之短期隨機振盪。經一階差分後，ΔRV 通過雙重檢驗，確認為 I(0) 平穩序列。

圖1：RV 與 ΔRV 對比（水準 vs. 差分）

$\Delta RV_t = RV_t - RV_{t-1}$，差分後序列均值接近零，均值回歸 (mean-reverting) 特徵顯著。

圖2：RV ACF vs. ΔRV ACF（持續性對比）

RV ACF 緩慢衰減（Lag-1 = 0.843）；ΔRV Lag-2 起 −0.371 後迅速衰減，平穩特徵明顯。

五、$w_t$ 調整依據：RV 建模正當性

Straddle 權重 $w_t$ 依據 $\Delta RV$（波動率變化率）動態調整，而非依據非平穩之 RV 層級水準，於統計層面具正當性。

$\Delta RV_t = RV_t - RV_{t-1} \rightarrow \text{I(0) 平穩，ADF t} = -8.73\ (p < 0.01),\ \text{KPSS LM} = 0.067\ (< 0.347)$
$w_t = w_{t-1} + \alpha \cdot \Delta RV_t,\quad w_t \in [w_\min = 10\%,\ w_\max = 35\%]$
$\alpha$ 為靈敏度參數，控制波動率變化對權重調整速率

此設計避免了以非平穩的 RV 絕對水準作為閾值所導致的虛假迴歸疑慮。注意：$w_t$ 本身之確定性趨勢為設計上的結果，非隨機序列問題，不應以非平穩檢驗評估。

六、自相關結構分析（ACF）

圖3：月報酬率 ACF（TSM / NDX）— 近白噪音

虛線為 95% 信賴區間（±1.96/√N = ±0.225）。各階係數均在信賴區間內，符合弱式效率市場假說（Fama, 1970）之預期。

圖4：RV 與 $w_t$ ACF — 高度持續性

RV Lag-1 = 0.843，呈現 Mandelbrot（1963）記錄之波動率叢聚現象；$w_t$ Lag-1 = 0.980 為確定性趨勢，非隨機序列。

七、結論與數據適格性聲明

本研究遵循 Engle & Granger（1987）之建議，於模型估計前對所有輸入序列進行平穩性前置檢驗。
A. 核心建模序列（月對數報酬率）
• TSM：ADF t = −9.13（p < 0.01），KPSS LM = 0.120 → I(0) ✓
• NDX：ADF t = −9.42（p < 0.01），KPSS LM = 0.156 → I(0) ✓
B. 已實現波動率 RV 與處理方式
• RV 原序列：GPH d = 1.029，Hurst H = 0.950 → 非平穩，具長記憶性
• ΔRV（一階差分）：ADF t = −8.73（p < 0.01），KPSS LM = 0.067 → I(0) ✓
• $w_t$ 調整改依據 $\Delta RV$ 差分序列，避免以非平穩水準建模之疑慮

參考文獻：Dickey & Fuller (1979); Kwiatkowski et al. (1992); MacKinnon (1994); Geweke & Porter-Hudak (1983); Mandelbrot (1963); Engle (1982); Engle, Lilien & Robins (1987); Fama (1970); Granger & Newbold (1974)

日期	事件	動態版（DVNAH）	自組版（IBKR）	靜態版	基準（60/40）	TSM 裸持	NDX/QQQ 裸持
2020-03	COVID 局部回撤	−12.5%	−23.1%	−13.2%	−20.1%	−27.0%	−18.5%
2022-10	2022熊市最大回撤	−15.8%	−44.5%	−18.3%	−39.2%	−49.6%	−33.0%
2022-10	熊市最深（截至已知累積）	+103.5%	+57.4%	+106.2%	+88.5%	+85.0%	+81.7%
2025-03	關稅衝擊局部回撤	−6.9%	−23.7%	−7.0%	−15.5%	−19.8%	−11.2%
2025-12	7年累積報酬	+390%	+331.9%	+415%	+432.8%	+509.7%	+283.6%

風險類型	動態版（DVNAH）	自組版（IBKR）	靜態版	緩解措施
AKI 觸發損失	低（FCN+動態調整）	無 FCN 保護	中	65% AKI 緩衝帶
Vega 風險	≈0（動態對沖）	固定 Vega 暴露	負 Vega	Straddle 動態調整
流動性風險	中	低（ETF 流動性佳）	中	月再平衡頻率
尾部風險	15.8% MaxDD	44.5% MaxDD	18.3% MaxDD	Straddle 保護

DVNAH — Dynamic Vega-Neutral Autocallable Gamma Hybrid Income Note

績效指標對比

互動模擬器

FCN 參數

情境設定